学习数据结构--第四章:树与二叉树(二叉树的遍历和线索二叉树)

学习数据结构--第四章:树与二叉树(二叉树的遍历和线索二叉树)

Scroll Down

第四章:树与二叉树(二叉树的遍历和线索二叉树)

上篇文章中讲了 学习数据结构--第四章:树与二叉树(二叉树的顺序存储和链式存储) 下面学习二叉树的遍历和线索二叉树

1.二叉树的遍历

二叉树的遍历:按某条搜索路径访问树中的每个结点,树的每个结点均被访问一次,而且只访问一次。

我们按照访问根结点的顺序分为

  • 先序遍历:先根->左子树->右子树
  • 中序遍历:先左子树->根->右子树
  • 后序遍历:先左子树->右子树->根

注意无论根什么时候访问,都是先访问左子树后访问右子树。

1.1先序遍历

先序遍历:

  • 访问根节点;
  • 采用先序递归遍历左子树;
  • 采用先序递归遍历右子树;

:每个节点的分支都遵循上述的访问顺序,体现“递归调用”

时间复杂度:O(n)

上图先序遍历结果:A BDFE CGHI

思维过程:

  • (1) 先访问根节点A,
  • (2)A分为左右两个子树,因为是递归调用,所以左子树也遵循“先根节点-再左-再右”的顺序,所以访问B节点,
  • (3) 然后访问D节点,
  • (4) 访问F节点的时候有分支,同样遵循“先根节点-再左--再右”的顺序,
  • (5) 访问E节点,此时左边的大的子树已经访问完毕,
  • (6) 然后遵循最后访问右子树的顺序,访问右边大的子树,右边大子树同样先访问根节点C,
  • (7) 访问左子树G,
  • (8) 因为G的左子树没有,所以接下俩访问G的右子树H,
  • (9) 最后访问C的右子树I

先序遍历的递归算法:

void PreOrder(BiTree T){
    if(T!=null){
       visit(T);
       PreOrder(T->lchild);
       PreOrder(T->rchild);
    }
}

1.2中序遍历

按照左子树->根节点->右子树的顺序访问

中序遍历:

  • 采用中序遍历左子树;
  • 访问根节点;
  • 采用中序遍历右子树

时间复杂度:O(n)

上图中序遍历结果:DBEFAGHCI

中序遍历的递归算法:

void PreOrder(BiTree T){
    if(T!=null){
       PreOrder(T->lchild);
       visit(T);
       PreOrder(T->rchild);
    }
}

1.3后序遍历

按照左子树->右子树-->根节点的顺序访问

后序遍历:

  • 采用后序递归遍历左子树;
  • 采用后序递归遍历右子树;
  • 访问根节点;

时间复杂度:O(n)

上图后序遍历的结果:DEFB HGIC A

后序遍历的递归算法:

void PreOrder(BiTree T){
    if(T!=null){
       PreOrder(T->lchild);
       PreOrder(T->rchild);
       visit(T);
    }
}

2.二叉树的非递归遍历

上述讲的三种遍历方法都是使用递归进行遍历,下面讲如何使用非递归算法遍历,我们需要借助 ,以中序遍历为例:

算法思想

  • 初始时依次扫描根结点和根节点的所有左侧结点并将它们依次进栈
  • 出栈一个结点,访问
  • 扫描该结点的右孩子结点并将其进栈
  • 依次扫描右孩子结点的所有左侧结点并—进栈
  • 反复该过程直到栈空为止

注意区分扫描和访问

按照上面的算法思想讲解如上图二叉树,我们使用非递归算法遍历:

1:依次扫描根结点和根节点的所有左侧结点并将它们依次进栈

2:出栈一个结点并访问

3:接着扫描7号结点的右孩子结点并进栈,它的右孩子结点为空,故无任何结点压入栈中。

4:然后继续出栈4号结点并访问它

5:接着扫描4号结点的右孩子结点并进栈,它的右孩子结点为空,故无任何结点压入栈中。

6:然后继续出栈2号结点并访问它

7:接着扫描2号结点的右孩子结点并进栈,它的右孩子结点为5,故将5号结点压入栈中。

8:接着扫描5号结点的所有左侧结点并依次进栈,它的左侧结点为空,故无任何结点压入栈中。

9:然后继续出栈5号结点并访问它,同样他右孩子结点为空,无任何结点进栈。

10:接着出栈1结点并访问它。

11:同样扫描1结点的右孩子结点,依次进栈

12:右孩子结点进栈后,依次将该节点的左侧结点依次进栈,然后继续循环步骤二,知道栈为空

代码实现:

void InOrder2(BiTree T){
   InitStack(S);
   BiTree p=T;
   //循环判断
   while(p||!IsEmpty(S)){ //栈非空 
      if(p){
         Push(S,p);
         p-p->lchild; //将p指向左孩子
      }else{
         Pop(S,p); //左孩子为空,出栈一个结点
         visit(p); //并访问它
         p=p->rchild; //指向右孩子
      }
   }
}

3.层次遍历

层次遍历:顾名思义,从上到下从左到右依次遍历,遍历顺序及时标号顺序。

层次遍历需要借助队列,算法思想:

  • 初始将根入队并访问根结点
  • 若有左子树,则将左子树的根入队
  • 若有右子树,则将右子树的根入队
  • 然后出队节点并访问
  • 反复该过程直到队列为空

代码实现

void leveOrder(BiTree T){
    InitQueue(Q);
    BiTree p; //辅助变量
    EnQueue(Q,T); //根节点入队
    while(!isEmpty(Q)){
      DeQueue(Q,P); //出队队首元素
      visit(p); //并访问
      if(p->lchild!=NULL){ //左孩子节点不为空,入队
         EnQueue(Q,p->lchild);
      }
      if(p->rchild!=NULL){//右孩子节点不为空,入队
         EnQueue(Q,p->rchild);
      }
    }
}

4.遍历结果逆置

我们由一个二叉树可以得到遍历序列,那么我们是否可以通过遍历序列得到一个二叉树吗?

首先我们只通过一个遍历序列可以得到二叉树吗?例如先序遍历序列:124536,我们直到先遍历的肯定是根节点,但是2是左节点还是右节点缺无法确定,所以根据一个遍历序列无法全程逆置。

其实,(后)先序遍历序列和中序遍历序列可以确定一颗二叉树,而后续遍历序列和先序遍历序列不可以确定一颗二叉树。

在学习遍历结果逆置的时候请务必清楚三种遍历方式.

先序遍历序列和中序遍历序列逆置思想:

  • 在先序序列中,第一个节点是根结点;
  • 根结点将中序遍历序列划分为两部分;
  • 然后在先序序列中确定两部分的结点,并且两部分的第一个结点分别为左子树的根和右子树的根;
  • 在子树中递归重复该过程,便能唯一确定一棵二叉树。

例如:先序序列:124536 中序序列为:425163,请画出该二叉树。

先序遍历我们直到第一个结点时根节点,后序遍历序列我们知道最后一个结点为根结点,所以后序遍历序列加中序遍历序列的操作大同小异。

另外根据层次遍历序列中序遍历序列也可以确定一个唯一二叉树。

5.线索二叉树

上面讲到二叉链表,我们知道不管二叉树的形态如何,空链域的个数总是多过非空链域的个数。准确的说,n各结点的二叉链表共有2n个链域,非空链域为n-1个,但其中的空链域却有n+1个。

因此,提出了一种方法,利用原来的空链域存放指针,指向树中其他结点,这种指针称为线索。同时提升了查找速度。

我们称这个线索二叉树的建立过程为:线索化

若无左子树,则将左指针指向其前驱结点。
若无右子树,则将右指针指向其后继结点。

5.1先序线索化

结点1有左孩子2->结点2有左孩子->结点4没有左孩子故左指针指向前驱结点2->结点4没有右孩子故右指针指向后继结点5->结点5没有左孩子故左指针指向前驱结点->结点5没有右孩子故右指针指向后继结点3->结点3有左孩子6->结点6没有左孩子故左指针指向前驱节点3->结点6没有右孩子且没有后继结点->接着看结点3,它没有右孩子则将右指针指向后继结点6。

5.2中序线索化

5.3后序线索化

最常用的还是中序线索二叉树

显然,在决定lchild是指向左孩子还是前驱,rchild是指向右孩子还是后继,需要一个区分标志的。因此,我们在每个结点再增设两个标志域ltagrtag

线索二叉树的结点结构

typedef struct ThreadNode{
    ElemType data;
    struct ThreadNode *lchild,*rchild;
    int ltag,rtag;
}ThreadNode,*ThreadTree;

这种结点结构构成的二叉链表作为二叉树的存储结构,称为线索链表。对于指向前驱和后继的指针称为 线索,线索化的二叉树就称为:线索二叉树

5.4中序线索二叉树

中序线索二叉树线索化代码

//传入一个根节点和前驱结点
void InThread(ThreadTree &p,ThreadTree &pre){
    if(p!=NULL){
        InThread(p->lchild,pre);  //递归左子树线索化
        if(p->lchild==NULL){ //没有左孩子
            p->lchild = pre; //左孩子指针指向前驱
            p->ltag = 1;    //前驱线索
        }
        if(pre!=NULL && pre->rchild==NULL){ //没有右孩子
            pre->rchild = p; //前驱右孩子指针指向后继(当前结点p)
            pre->rtag = 1;  //后继线索
        }
        pre = p; //修改前驱结点为当前结点
        InThread(p->rchild,pre);  //递归右子树线索化
    }
}

初始化和收尾

//传入线索二叉树的根节点
void CreateInThread(ThreadTree T){
     ThreadTree pre=NULL;
     if(T!=NULL){
        InThread(T,pre); //实现线索化
        pre->rchild=NULL; //收尾 最后遍历的结点的右孩子至为空
        pre->rtag=1;
     }
}

引入头节点的线索二叉树

中序线索二叉树的遍历

//找最左侧的孩子结点
ThreadNode *Firstnode(ThreadNode *p){
     while(p->ltag==0){
          p=p->lchild;
     }
     return p;
}
//找后继结点
ThreadNode *Nextnode(ThreadNode *p){
     if(p->rtag == 0){
          return Firstnode(p->rchild);
     }
     return p->rchild;
}
void InOrder(ThreadNode *T){
     for(ThreadNode *p=Firstnode(T);p!=NULL;p=Nextnode(p)){
         visit(p);
     }
}

关于数据结构的知识公众号 理木客同步更新中,下次将会讲解:树、森林,欢迎大家的关注